Realidade e Ilusão

Estabilidade e XOR

O objetivo deste artigo não é uma análise rigorosa de como um processo de ou exclusivo pode ser executado, mas sim aproximar uma análise que, semelhante ao caso real, promove situações interessantes.
Um ou exclusivo (XOR) tem a característica de tomar duas entradas binárias e retornar uma saída da seguinte forma:
___________________________
entrada1| entrada2| saída|
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
Quando tratamos o problema do ponto de vista das redes neurais, é interessante notar que o espaço de entrada fornece padrões que não são linearmente separáveis. Assim, uma análise não linear parece lícita.
Para tanto, vou fazer algumas suposições não muito rigorosas, mas com resultados interessantes. Suponho inicialmente que há um desvio pequeno dos valores 0 e 1, uma pequena perturbação. Proponho uma frase XOR que será retroalimentada na tentativa de eliminar os desvios (isso dará o caráter não linear). Os valores verdade serão tomados sempre no intervalo [0,1]. Considere a seguinte proposição:
Se Ana e Bartolomeu estão simultaneamente na minha presença ou simultaneamente ausentes, eu vou embora. Do contrário, quando apenas um ou outro está na minha presença, eu fico.
Seja ficar representado por 1 e a ausência ou o ato de ir embora representados por 0. Usarei as letras A e B para representar Ana e Bartolomeu e a letra E para representar a mim.
A função lógica AND posso representar por: (A AND B) -> A*B
A função lógica XOR posso representar por: (A XOR B) -> A+B - 2*A*B
Assim, a frase pode ser reescrita como:
E=(E AND A) XOR (E AND B)
E=(E*A)+(E*B) - 2*[(E*A)*(E*B)]
E=E*(A+B) - 2*A*B*E*E
E=E*(A+B - 2*A*B*E)
Se nem Ana nem Bartolomeu estão, vale:
E=E*(0 - 0) = 0; e vou embora.
Se ou Ana ou Bartolomeu está:
E=E*(1 - 0) = E; se estou, fico, se não estou, não apareço.
Este é um centro estável, ou seja, é insensível às perturbações. Perturbações pequenas continuam pequenas.
A situação de interesse ocorre quando A e B estão na minha presença:
E=E*(2 - 2*E) = 2*E*(1 - E)
Descobrimos os pontos fixos se fizermos:
E(novo) = E(antigo) = E
E = 2*E - 2*E*E
E - 2*E*E = 0
E*(1 - 2*E) = 0
Temos duas raízes, E = 0 e E = 1/2. Para analisar a estabilidade destes pontos, vamos expandir a equação em série de Taylor ao redor dos mesmos e abandonar os termos de ordem superior, como dita o processo de linearização.







Assim, a perturbação irá aumentar ou diminuir com as iterações (instabilidade ou estabilidade) dependendo da derivada de F ser maior ou menor que 1, em módulo.
Desta forma:












Analisando termos de ordem superior, chegamos à conclusão de que este raciocínio vale para perturbações inferiores a 1/2. Isso exclui os pontos 0 e 1 exatamente, como era de se esperar.
O que é surpreendente é o fato de que a solução esperada do problema é instável (E=0) e aparece uma solução não esperada, fortemente estável. É claro que apesar da derivada em E=1/2 ser 0, a convergência não é imediata, devido aos termos de ordem superior que não podem ser ignorados.
Mas o que significa E=1/2?
E=0 significa não ficar, E=1 significa ficar. Se tomarmos a negação padrão para lógicas com vários valores de verdade, ficamos com ~a=(1-a). Podemos perceber daí (~ é o símbolo para negação) que 1/2 é justamente o valor que quando negado, resulta nele mesmo, o que sugere uma indecisão. Não se pode determinar se ficamos ou saímos. E é estável.
Processos cognitivos são muitas ordens de grandeza mais complexos que um XOR, então é lícito que nos perguntemos: se num processo simples e determinístico como este já se exibe um comportamento inesperado, não seriam nossas emoções simplesmente amontoados de operações determinísticas (ou quase, devido à natureza do ruído), que se superpõem?
Qual é a verdadeira natureza das emoções? Penso que este experimento (tente implementar a retroalimentação num programa computacional, se puder - não esqueça de adicionar ruído) indica que somos seres puramente lógicos, mas infinitamente complexos.

posted by Luiz Henrique @ 14:41